QUESTÃO DE EQUAÇÃO DO 2º GRAU

Se as raízes da equação x² - 10 cx - 11d = 0 são a e b, e as raízes  da equação x² - 10ax - 11b = 0 são c e d, onde a , b, c e d são números distintos e não nulos, então o valor de a + b + c + d pode ser
a) 220
b)121
c) 1100
d)1210
e) não há dados suficientes para determinar

SOLUÇÃO:
f(a) = a² - 10 ac - 11d
a² - 10 ac - 11d = 0  (1)
f(b) = b² - 10bc - 11d
b² - 10bc - 11d = 0 (2)
f(c) = c² - 10ac - 11b
c² - 10ac - 11b = 0 (3)
f(d) = d² - 10ad - 11b
d² - 10ad - 11b = 0 (4)

Em (1)
a² - 10 ac =  11d 
Em (2)
b² - 10bc = 11d 

a² - 10 ac = b² - 10bc
a² - b² = 10ac - 10 bc
(a+b).(a - b) = 10c (a - b)
a + b = 10c
b = 10c - a  (5)

Em (3)
c² - 10ac = 11b
Em (4)
d² - 10ad  = 11b
c² - 10ac = d² - 10ad
c² - d² = 10 ac - 10 ad
(c + d) ( c- d) = 10a ( c - d)
c + d = 10a
d = 10a - c (6)

1 = 3
a² - 10 ac - 11d = c² - 10ac - 11b = 0
a² - c² = 11 d - 11b
(a + c )(a - c) = 11 ( d - b)
( a + c) ( a - c) = 11 [ 10a - c - (10c - a)]
( a + c) ( a - c) = 11 [ 10 a - c - 10 c + a]
( a + c) ( a - c) = 11 [11a - 11c]
( a + c) ( a - c) = 11 . 11( a - c)
a + c = 121

a + b + c + d = 10c + 10a = 10 (c + a) = 10.121 = 1210